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RÈGLE DE TROIS OU RÈGLE DE SIX ?

July 15, 2012

En juin 2011, l’ancien ministre de l’Éducation Luc Chatel n’avait pas su résoudre cet exercice de niveau CM2 au micro de RMC :

10 objets identiques coûtent 22 € ; combien coûtent 15 de ces objets ?

La plupart des commentateurs invoquèrent la trop célèbre “règle de trois” ; le quotidien Le Monde proposa cette solution :

“Reprenons, monsieur Chatel. Dix objets coûtent 22 euros. Combien coûtent quinze de ces objets.

Soit x le prix de quinze objets, ce qui donne :
x = (15 × 22)/10 = 33 €”

Cette solution absolument dogmatique, qui ne justifie pas les opérations faites, met en évidence la raison de nombreux échecs en maths, soit la perte ou la négligence du sens des opérations courantes qui, soit dit en passant, sont au nombre de trois, et non de quatre : addition, multiplication (addition répétée du même), puissance (multiplication répétée du même) – car soustraction et division se ramènent en fait à des équations posées autour de l’addition et de la multiplication ; ainsi a + x = b et a*x = b.

La solution intelligente de l’exercice de Chatel consiste à remarquer que l’on a 5 objets supplémentaires, et que ces 5 objets coûtent la moitié du prix de 10 objets (proportionnalité implicite).

10 objets =>> 22 €
5 objets =>> 11 €

Donc par additivité évidente
15 objets =>> 33 €

La réponse de l’ancien ministre, 16,50 €, était non seulement fausse, mais absurde puisque pour lui 15 objets pouvaient coûter moins cher que 10. Chatel avait bien vu que le nombre 11 intervenait dans l’exercice, mais il a fait une opération qui n’avait pas de sens, (15/10)*11, au lieu de celle qui avait du sens, 3*11.

Dans ce genre d’exercices, il conviendrait de parler d’une règle de six plutôt que d’une règle de trois, car six nombres sont impliqués dans cette petite histoire :

10 et 22
5 et 11
15 et le nombre cherché, 33

Ces six nombres peuvent se présenter dans un tableau de proportionnalité :

10  22
5   11

15  33

On peut ne pas passer par le nombre 5, et appliquer une méthode générale, en passant par le prix d’un seul objet :

10 objets coûtent 22 €
1 objet coûte 2,2 €
15 objets coûtent 15*2,2 = 33 €

Cette deuxième méthode nécessite le recours à une calculette si l’on n’est pas très bon en calcul mental. Mais dans tous les cas il y a bien six nombres impliqués, donc mieux vaudrait parler de “règle de six”, ou alors de “règle des trois lignes”.